Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 48

Se

Em quais pontos, se houver, o gráfico de tem um máximo local,um mínimo local ou um ponto de inflexão?

Esboce a forma geral do gráfico.

Passo 1

Inicialmente considere em seguida identificaremos se possui pontos críticos para isso faremos, ou seja,

Note que e a igualdade acima é satisfeita. Sendo assim, temos três candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (decresce). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos (cresce). Logo, é um ponto de mínimo no intervalo de

Já, para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (cresce). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos ( cresce). Logo, não é nem um ponto de máximo nem um ponto de mínimo no intervalo de

Já, para valores dentro do intervalo , , assume valores positivos (cresce). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos (decresce). Logo, é um ponto de máximo no intervalo de

Passo 2

Determinaremos agora . Dessa forma , pela regra da diferença temos que

Passo 3

Como já determinamos podemos verificar se ela possui pontos inflexão, para isso faremos , ou seja,

Note que e a igualdade acima é satisfeita. Sendo assim, temos três candidatos a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos ( tem concavidade para baixo). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos ( tem concavidade para cima). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos ( tem concavidade para baixo). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 4

Desejamos encontrar a foma geral do gráfico, porém, no enunciado só foi dado informações sobre a derivada de ou seja,

Precisamos encontrar uma forma de voltar a função original, e quem vai nos ajudar com isso será a integral, pois por definição a integral é um anti-derivada. Sendo assim,

A constante está sendo levada em consideração pois estamos com uma integral indefinida, porém como desejamos em sua forma original consideraremos . Sendo assim,