Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 37
Faça o gráfico da curva
Passo 1
Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos “dizer”.
Observe que o domínio de corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para que apresente indeterminações ou fatos inexistentes,(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)
Sendo assim, o gráfico de não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.
Passo 2
Em seguida verificaremos, se possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo
Com isso percebemos que para temos que ou seja,
Logo, o gráfico de toca o eixo apenas uma vez.
Passo 3
Determinaremos agora e , para em seguida verificarmos se possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,
Pela regra do produto teremos,
Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença e a regra do produto
Passo 4
Vamos agora identificar se possui pontos críticos
Em relação aos pontos de críticos temos que
Como nunca se anula, então quando ou
Sendo assim temos dois candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades deles.
Perecaba que , para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, é um ponto de máximo no intervalo de
Já, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos (crescente). Logo, é um ponto de mínimo no intervalo de
Passo 5
Vamos agora identificar se possui pontos de inflexão
Em relação aos pontos de inflexão temos que
Como nunca se anula, então quando , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão
Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.
Perceba que , para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos (Concavidade para baixo). Logo, não é um ponto de inflexão no intervalo de
Sendo assim, não é um ponto de inflexão para , ou seja, não há mudança de concavidade.
Passo 6
Para finalizar verificaremos se possui assíntotas verticais ou horizontais.
No que se refere as assíntotas horizontais temos que
Pois quando a exponencial, assume valores cada vez menores, se aproximando assim do zero. Lembrando que é sempre diferente de zero, independentemente do valor de
Sendo assim temos que rescrever de modo que possamos utilizar p L’hospital .Um opção é escrever da seguinte maneira,
Agora podemos utilizar a regra de L’hospital , ou seja, derivaremos em cima e em baixo e veremos o que acontece com o limite,
Utilizando L’hospital mais uma vez teremos
Logo, não possui assíntotas horizontal em zero.
No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto no domínio de que faça com que
Logo, não possui assíntotas verticais.
Resposta
