Enunciado

Faça o gráfico da curva y = x^((1)/(3)) ( x - 4 )

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x^((1)/(3)) ( x - 4 )

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0 e x = 4 , temos que f (x) = 0 , ou seja,

f (0) = x^((1)/(3)) (x - 4) = ( 0 )^((1)/(3)) (0 - 4) = 0 . (- 4) = 0

E,

f (4) = ( 4 )^((1)/(3)) (4 - 4) = ( 4 )^((1)/(3)) (0) = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da produto,

f^' (x) = (1)/(3) x^(- (2)/(3)) (x - 4) + x^((1)/(3)) . ( 1 )

= (1)/(3) x^(- (2)/(3)) (x - 4) + x^((1)/(3))

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença e a regra do produto

f^(' ') (x) = (1)/(3) [(- (2)/(3)) x^(- (5)/(3)) (x - 4) + x^(- (2)/(3)) . ( 1 )] + (1)/(3) x^(- (2)/(3))

= (1)/(3) [(- (2)/(3)) x^(- (5)/(3)) (x - 4) + x^(- (2)/(3))] + (1)/(3) x^(- (2)/(3))

= (- (2)/(6)) x^(- (5)/(3)) (x - 4) + (1)/(3) x^(- (2)/(3)) + (1)/(3) x^(- (2)/(3))

= - (2)/(6) x^(- (5)/(3)) (x - 4) + 2 (1)/(3) x^(- (2)/(3))

= - (1)/(3) x^(- (5)/(3)) (x - 4) + (2)/(3) x^(- (2)/(3))

= - (1)/(3) . (1)/(x^((5)/(3))) (x - 4) + (2)/(3) . (1)/(x^((2)/(3)))

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = (1)/(3) x^(- (2)/(3)) (x - 4) + x^((1)/(3)) = 0

=> (1)/(3) (1)/(x^((2)/(3))) (x - 4) + x^((1)/(3)) = 0 => (1)/(3) (1)/(x^((2)/(3))) (x - 4) = - x^((1)/(3))

=> (1)/(3) (x - 4) = - x^((1)/(3)) . x^((2)/(3)) => (1)/(3) (x - 4) = - x^((1)/(3) + (2)/(3))

=> (1)/(3) (x - 4) = - x^((3)/(3)) => (1)/(3) (x - 4) = - x^1

=> (1)/(3) x - 4 (1)/(3) = - x => (1)/(3) x - (4)/(3) = - x

=> - (4)/(3) = - x - (1)/(3) x => - (4)/(3) = - (4)/(3) x

=> 1 = 1 . x => x = 1 ou x = 0

Já que a derivada em x = 0 não existe.

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que para valores dentro do intervalo ( - oo , 0 ) x = 0 , f ( x ) irá assume valores negativos (decrescente). Já para valores dentro do intervalo (0,4) x = 0 , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 0 é nem ponto de máximo nem de mínimo.

Já, que para valores dentro do intervalo ( 0,1 ) x = 1 , f ( x ) irá assume valores negativo (decrescente). Já para valores dentro do intervalo ( 1 , + oo ) x = 1 , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 1 é um ponto de mínimo.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = - (1)/(3) . (1)/(x^((5)/(3))) (x - 4) + (2)/(3) . (1)/(x^((2)/(3))) = 0

=> (1)/(3) . (1)/(x^((5)/(3))) (x - 4) = (2)/(3) . (1)/(x^((2)/(3))) => (1)/(3) . (x^((2)/(3)))/(x^((5)/(3))) (x - 4) = (2)/(3)

=> (x^((2)/(3)))/(x^((5)/(3))) (x - 4) = (2)/(3) (3)/(1) => x^((2)/(3) - (5)/(3)) (x - 4) = (2)/(1)

=> x^(- (3)/(3)) (x - 4) = 2 => x^(- 1) (x - 4) = 2

=> ((x - 4))/(x) = 2 => (x)/(x) - (4)/(x) = 2

=> 1 - (4)/(x) = 2 => - (4)/(x) = 1

=> x = - 4

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - oo , - 4 ) , x = - 4 , f ( x ) assume valores negativos (Concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( - 4,0 ) x = - 4 , f ( x ) irá assumir valores negativo (Concavidade para baixo). Logo, x = - 4 não é um ponto de inflexão no intervalo de ( - oo , 0 ) .

Sendo assim, x = - 4 não é um ponto de inflexão para f ( x ) ,ou seja, não há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(lim) f (x) = x^((1)/(3)) ( x - 4 ) = oo

Logo, f (x) não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Logo, f (x) não possui assíntotas verticais.

Resposta

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