45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

Nestes exercícios:

a) Use esses limites, se necessário, para obter limites de quando e .

b) Esboce o gráfico de e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

50.

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que ou os pontos em que não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

Aqui temos algo importantíssimo para notar, galera! Perceba que não existem valores de para que essa razão resulte em zero, uma vez que o denominador não pode ser nulo. No entanto, como temos esse termo , então para teremos essa razão também. Por outro lado, para teremos essa razão também. Em outras palavras, antes de a função é decrescente e depois de a função é crescente, então o que temos é um ponto de mínimo em .

Sendo assim, então podemos dizer que é nosso ponto de extremo relativo!

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de e vira e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

Note que utilizamos a regra do quociente para realizar essa derivada, ok? Continuando:

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

A única forma dessa razão resultar em zero é se:

Logo:

Então esses são os nossos pontos de inflexão, galera!

Substituindo os valores de que encontramos na nossa função, teremos:

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉