Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 106

Faça o gráfico da função

Explique a relação entre a fórmula e o que você observa.

Passo 1

Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

Observe que o domínio de corresponde , pois qualquer valor fora desse intervalo ocasionaria em uma raiz quadrada negativa, que é algo que não existe no conjunto dos números Reais .

Além disso, note que independentemente do valor de no intervalo , sempre irá assumir um valor negativo. Isso acontece, pois, o numerador é negativo e o denominador sempre é positivo devido a raiz quadrada, então pela regra de sinal, o resultado sempre será negativo. Dessa maneira, veremos que o gráfico de estará na parte negativa do eixo y e estará “dentro” do intervalo (-2,2) .

Passo 2

O segundo passo é perceber que ao olharmos , veremos que estamos com uma divisão de polinômios, que tem alguns “probleminhas” quando ou , ou seja, quando substituímos esses números o denominador zera.

Passo 3

O terceiro passo é notar que quando isso acontece significa que possui assíntotas verticais. Porém, é necessário verificar se isso é verdade, ou seja, precisamos ver se, e .

No entanto, vimos que está definida somente para , sendo assim não podemos calcular e pois para estes pontos a função não está definida.

Dessa maneira, verificaremos apenas se e

O que é simples de verificar pois só precisaremos substituir no limite à esquerda e ver o que acontece,

Da mesma forma, substituindo no limite à direita temos,

Isso é importante, pois é como se a função estivesse conversando conosco, e dizendo que quando ela se aproxima de pela esquerda, ela atinge valores cada vez mais altos, só que com sinal de menos e o mesmo irá acontecer quando se aproxima de pela esquerda.