Ache o limite

lim x → - 2 + ⁡ 6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

lim x → - 2 + ⁡ 6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2 = 6 - 2 2 + - 2 - 2 2 - 2 2 + 3 - 2 - 2 = 6.4 - 2 - 2 2.4 - 6 - 2 = 24 - 4 8 - 6 - 2 = 20 0

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + ∞ ou - ∞

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 2

Vamos olhar a fração que temos no limite

6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que - 2 .

Primeiro, vamos colocar o 6 em evidência no denominador e o 2 em evidência no numerador. Para que tenhamos só 1 multiplicando x 2 , que vai facilitar a fatoração.

6 x 2 + 1 6 x - 1 3 2 x 2 + 3 2 x - 1

3 x 2 + 1 6 x - 1 3 x 2 + 3 2 x - 1

Vamos fatorar as duas expressões de 2 º grau que apareceram ali. Para isso, temos que achar suas raízes

x 2 + 1 6 x - 1 3 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = 1 2

x = - 2 3

E teremos

x 2 + 1 6 x - 1 3 = x - 1 2 x - - 2 3 = x - 1 2 x + 2 3

A outra expressão de segundo grau vai ficar

x 2 + 3 2 x - 1 = 0

Resolvendo por Bhaskaras, vamos ter

x = - 2

x = 1 2

E teremos

x 2 + 3 2 x - 1 = x - - 2 x - 1 2 = x + 2 x - 1 2

Passo 3

Voltando para a nossa fração, vamos ter

3 x 2 + 1 6 x - 1 3 x 2 + 3 2 x - 1

3 x - 1 2 x + 2 3 x + 2 x - 1 2

Simplificando o x - 1 2

3 x + 2 3 x + 2

Repare que ele que o limite para valores maiores que - 2 , mas próximos a ele. Então x + 2 3 vai ser negativo. Fazendo o numerador ser negativo.

O denominador vai ser x + 2 , como estamos com valores de x maiores que - 2 , ele vai ser positivo.

Uma fração com numerador negativo e denominador positivo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores maiores que - 2 é negativa. O que vai fazer com que aquele que vimos seja - ∞

lim x → - 2 + ⁡ 6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2 = - ∞

Resposta

- ∞

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