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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 36

  1. Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equivalente ao encontro em (a).

∫ ln ⁡   ( 3 x + 1 ) d x             ,     u = 3 x + 1

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 3 x + 1

d u = 3   d x

Então, podemos dizer que:

∫ ln ⁡   ( 3 x + 1 ) d x = ∫ ln ⁡ u d u 3    

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ ln ⁡ u d u = u ln ⁡ u - u + C

Então:

∫ ln ⁡   ( 3 x + 1 ) d x = 1 3 u ln ⁡ u - u + C

Substituindo u = 3 x + 1 :

∫ ln ⁡   ( 3 x + 1 ) d x = 1 3 ( 3 x + 1 ) ln ⁡ 3 x + 1 - ( 3 x + 1 ) + C

Isolando os termos em comum:

∫ ln ⁡   ( 3 x + 1 ) d x = ( 3 x + 1 ) 3 ln ⁡ 3 x + 1 - 1 + C

Resposta

∫ ln ⁡   ( 3 x + 1 ) d x = ( 3 x + 1 ) 3 ln ⁡ 3 x + 1 - 1 + C

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