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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 37

  1. Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ cos ⁡ 3 x ( sen ⁡ 3 x ) sen ⁡ 3 x + 1 2 d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = sen ⁡ 3 x

d u = 3 cos ⁡ 3 x d x

Então, podemos dizer que:

∫ cos ⁡ 3 x ( sen ⁡ 3 x ) sen ⁡ 3 x + 1 2 d x = ∫ 1 u u + 1 2 d u 3    

Assim:

∫ cos ⁡ 3 x ( sen ⁡ 3 x ) sen ⁡ 3 x + 1 2 d x = 1 3 ∫ 1 u u + 1 2 d u  

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ 1 u a + b u 2 d u = 1 a ( a + b u ) + 1 a 2 ln ⁡ u a + b u + C

Se a = 1 e b = 1 :

∫ cos ⁡ 3 x ( sen ⁡ 3 x ) sen ⁡ 3 x + 1 2 d x = 1 3 1 ( u + 1 ) + ln ⁡ u u + 1 + C

Substituindo u = sen ⁡ 3 x :

∫ cos ⁡ 3 x ( sen ⁡ 3 x ) sen ⁡ 3 x + 1 2 d x = 1 3 1 ( sen ⁡ 3 x + 1 ) + ln ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x + 1 + C

Resposta

∫ cos ⁡ 3 x ( sen ⁡ 3 x ) sen ⁡ 3 x + 1 2 d x = 1 3 1 ( sen ⁡ 3 x + 1 ) + ln ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x + 1 + C

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