Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 39
Uma família de curvas pode ser auto-ortogonal uma vez que um membro das trajetórias ortogonais é também um membro da família original. Nos problemas 39 e 40, mostre que a família de curvas é auto-ortogonal.
Passo 1
Vamos começar encontrando a equação diferencial , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:
Usando a regra da cadeia:
Vamos isolar o na equação , só pra aí a gente poder substituir na equação
Temos uma equação do 2° grau em , vamos resolver:
Dessa forma, temos:
Belezinha, vamos substituir na equação então
Passo 2
Temos
Então:
Dessa forma, o produto entre as derivadas vale , sendo assim, provamos a auto-ortogonalidade :D
Resposta
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