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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 5

Nos problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

c 1 x 2 + y 2 = 1

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, para encontrar trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, primeiro a gente tem que encontrar a equação diferencial tal que:

d y d x = f ( x , y )

No nosso caso, temos:

c 1 x 2 + y 2 = 1

2 x c 1 + 2 y d y d x = 0

d y d x = 2 x c 1 2 y

d y d x = x c 1 y

Isolando c 1 na nossa EDO, temos c 1 = 1 - y 2 x 2 Aí a gente substitui isso na nossa derivada:

d y d x = x y 1 - y 2 x 2

d y d x = 1 - y 2 x y  

Passo 2

E aí a equação da família ortogonal é dada por:

d y d x =   - 1 f x , y

No nosso caso, temos:

d y d x =   x y y 2 - 1

E aí agora a gente vai resolver essa equação diferencial para encontrar a função y .

Passo 3

Separando a EDO, temos:

y 2 - 1 y d y =   x   d x

Integrando os dois lados:

∫ y 2 - 1 y d y = ∫ x d x

- ln ⁡ y + y 2 2 = x 2 2 + c 2

- 2 ln ⁡ y + y 2 - x 2 = C

E essa é a família de trajetórias ortogonais 😉

Resposta

- 2 ln ⁡ y + y 2 - x 2 = C

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