Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 28

Fazer um esboço do gráfico de , determinando:

. Os extremos relativos de ;

. Os pontos de inflexão do gráfico de ;

. Os intervalos onde é crescente e aqueles nos quais é decrescente;

. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;

Da função

Passo 1

Legal gente, sem pânico! Temos milhões de coisas pra calcularmos, então vamos ser organizados e dividir tudo em pequenos passos de cada vez. A primeira coisa que a questão nos pede, é que determinemos os extremos relativos de f. Para isso, temos que:

Fazer a primeira derivada e igualar a 0 para achar um c
Fazer a segunda derivada e realizar um teste para determinamos se é um extremo ou mínimo relativo.

Então, nossa função é dada por:

Derivando e igualando a 0, temos que:

Resolvendo essa equação, temos que a raíz é:

Então temos 1 C. Vamo aos testes! A segunda derivada da função é igual a:

Aplicando as raízes, temos que:

-p/ :

Indeterminação, logo, não existe máximo ou mínimos relativos.

Passo 2

Ufa, primeira parte já foi! Para a segunda parte, precisamos definir o nosso ponto de inflexão. Resumindo, vamos derivar 3 vezes e achar esses pontos? PREPARADOS? SIMBORA!

Neste ponto, igualamos a 0 e temos nossos primeiros candidatos a pontos de inflexão.

Não existem raízes! Logo, não existem pontos de inflexão!

Passo 3

E vamos seguindo o rumo galera! Para determinamos a região aonde a nossa curva cresce e decresce, é bem simples. Derivamos uma vez, achamos os 0 e comparamos os intervalos dos 0. Como assim? Vamos lá.

Para a nossa função, temos que a primeira derivada é igual a