Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de ;

Os pontos de inflexão do gráfico de ;

Os intervalos em que é crescente

Os intervalos em que é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

Nosso numerador é

Não precisamos colocar nada em evidência.

Nosso denominador é

Colocando em evidência, vamos ter:

Agora vamos aos limites. Primeiro:

Vai ficar:

Opa, temos uma assíntota horizontal deste lado

O outro vai ser:

Vai ficar:

Opa, temos uma assíntota horizontal deste lado

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Mas temos as assíntotas horizontais, então não teremos oblíquoas.

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Aqui não temos nenhum valor para o denominador ser , então não temos assíntotas verticais.

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Para achar a derivada, vamos usar a regra do quociente:

Colocando o em evidência:

Como o denominador é sempre positivo, o sinal depende só de

Vamos olhar seu gráfico:

Entre e vai ser negativo, e antes de , depois de vai ser positivo.

Mas a derivada tem o na frente, então, ela vai ficar:

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Teremos:

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

Colocando o em evidência:

Simplificando

Jogando o para dentro do parêntese:

Como o denominador é sempre positivo, so vamos nos preocupar com o sinal do numerador:

Vamos montar o quadro de sinais.

Assim

Então:

Isso também nos diz que:

São pontos de inflexão

Agora vamos juntar todas as informações:

Assintotas horizontais:

, , , pontos de inflexao

A tangente de inflexão vai ser:

O gráfico vai ficar:,