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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 7

Esboce o gráfico.

f (x) = 2 x + 1 + e^(- x)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial e da função constante para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(c)^' = 0

Vamos então aplicar:

f^' (x) = (2 x + 1 + e^(- x))^' = 2 + 0 + e^(- x) (- 1) = 2 - e^(- x)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) igualando a zero:

2 - e^(- x) = 0 harr e^(- x) = 2 -> x = - ln 2

Temos que f^' (x) > 0 em:

[- ln 2 , + oo[

E f^' (x) < 0 em:

]- oo , - ln 2]

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em [- ln 2 , + oo[

f é estritamente decrescente em ]- oo , - ln 2]

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = (2 - e^(- x))^' = 0 - e^(- x) (- 1) = e^(- x)

f^(' ') (x) > 0 para todo x , tendo a concavidade voltada para cima.

Não possui um ponto de inflexão.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) 2 x + 1 + e^(- x) = + oo

underset(x -> - oo)(lim) 2 x + 1 + e^(- x) = + oo

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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