Um fluido com densidade flui com velocidade

Determine a taxa de vazão do fluido através do paraboloide

Para parametrizar o paraboloide vamos fazer:

E substituir os valores de .

E a parametrização do paraboloide será:

Agora temos que calcular o jacobiano para encontrar o módulo.

E o jacobiano sessa superfície será:

Realizando as derivadas parciais temos:

Sendo assim:

Então o módulo será:

Como não conseguimos tirar nada do módulo, nada nos impede de usar somente a parte vetorial do jacobiano o que nos dá:

Fazendo o vetorial temos:

E a região é a área elementar do paraboloide dado que é o círculo que vai desde raio igual a zero e vai até o raio igual a que é todo o corpo do paraboloide retratado que é igual a integral polar abaixo:

Vamos iniciar pela solução da primeira integral:

Vamos separar as constantes para facilitar, dessa forma teremos:

Resolvendo a primeira integral:

Vamos utilizar a substituição:

Sendo assim temos:

Resolvendo a segunda integral:

Pela tabela de integrais

Temos então:

Retornando na equação temos

Aplicando os limites de integração em relação a

Fazendo a integral em relação a :

Integrando temos:

Aplicando os limites