Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 39
Um fluido com densidade flui com velocidade
Determine a taxa de vazão do fluido através do paraboloide
Passo 1
Boa tarde pessoal. Tudo certo? Veja que temos um fluxo através de um paraboloide, sendo assim temos de calcular a taxa de vazão desse fluido, que é dado por:
Como é constante, v está vetorizado e a superfície não é convencional então teremos que calcular da seguinte maneira:
Como temos a equação parametrizada de nós também teremos de parametrizar o paraboloide, depois disso, é só aplicar a equação que obteremos o resultado. Vamos lá?
Passo 2
Para parametrizar o paraboloide vamos fazer:
E substituir os valores de .
E a parametrização do paraboloide será:
Agora temos que calcular o jacobiano para encontrar o módulo.
E o jacobiano sessa superfície será:
Realizando as derivadas parciais temos:
Sendo assim:
Então o módulo será:
Passo 3
Como não conseguimos tirar nada do módulo, nada nos impede de usar somente a parte vetorial do jacobiano o que nos dá:
Fazendo o vetorial temos:
E a região é a área elementar do paraboloide dado que é o círculo que vai desde raio igual a zero e vai até o raio igual a que é todo o corpo do paraboloide retratado que é igual a integral polar abaixo:
Passo 4
Vamos iniciar pela solução da primeira integral:
Vamos separar as constantes para facilitar, dessa forma teremos:
Resolvendo a primeira integral:
Vamos utilizar a substituição:
Sendo assim temos:
Resolvendo a segunda integral:
Pela tabela de integrais
Temos então:
Retornando na equação temos
Aplicando os limites de integração em relação a
Fazendo a integral em relação a :
Integrando temos:
Aplicando os limites