Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 21

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F → através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F x , y , z = z e x y i ^ - 3 z e x y j ^ + x y k ^

S é o paralelogramo do Exercício 5 com orientação ascendente.

Passo 1

Fala gente temos que no exercício 5 , “ S é o paralelogramo com equação paramétrica x = u + v , y   =   u - v , z   =   1   +   2 u   +   v , 0 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 1 ”

Então com essa informação vamos entender o que o exercício pede. Ele quer que a gente localize o fluxo de F → através de S , onde:

F x , y , z = z e x y i ^ - 3 z e x y j ^ + x y k ^

O fluxo ϕ de um campo é definido como

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S →

Onde

d S → = - r → u �� r → v d A

Então a primeira coisa que precisamos fazer é a parametrização de F x , y , z para F u , v .

Depois iremos achar quem é o nosso d S → . Percebe que para isso iremos precisar encontrar o produto vetorial , que podemos descrever por:

r → u × r → v = d e t i ^   j ^   k ^   ∂ x d u   ∂ x d u   ∂ x d u   ∂ x d v   ∂ x d v   ∂ x d v  

Logo, vamos precisar encontrar quem são as derivadas parciais ∂ x d u e ∂ x d v e substituir na fórmula acima.

Show, o próximo passo é ir para a integral:

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S →

Aqui nós iremos achar o produto escalar F → ⋅ d S → e substituir na integral.

Com todas essas informações podemos calcular!!

Passo 2

Vamos começar com a parametrização,se:

x = u + v

y   =   u - v

z   =   1   +   2 u   +   v

Logo , substituindo esses valores em:

F x , y , z = z e x y i ^ - 3 z e x y j ^ + x y k ^

nossa F → se transforma em:

F u , v = 1 + 2 u + v e u + v u - v i ^ - 3 1 + 2 u + v e u + v u - v j ^ + u + v u - v k ^

Ajeitando um pouquinho:

F u , v = 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 i ^ - 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 j ^ + u 2 - v 2 k ^

Perfeito!

Passo 3

Agora queremos saber quem é d S .

r → u × r → v = d e t i ^   j ^   k ^   ∂ x d u   ∂ x d u   ∂ x d u   ∂ x d v   ∂ x d v   ∂ x d v  

Então vamos precisar encontrar ∂ x d u e ∂ x d v :

Vamos começar por ∂ x d u :

∂ x d u = ∂ d u 1 + 2 u + v e u 2 - v 2

∂ d u 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 = 2   e u 2 - v 2 ( 1   +   u   +   2   u 2   +   u   v )

e

∂ x d v = ∂ d v 1 + 2 u + v e u 2 - v 2

∂ d v 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 = - e u 2 - v 2 ( ( 4 u + 2 ) v +   2   v 2 - 1 )

Então

r → u × r → v = d e t i ^   j ^   k ^   ∂ x d u   ∂ x d u   ∂ x d u   ∂ x d v   ∂ x d v   ∂ x d v   = 3 i ^ + j ^ - 2 k ^

F → ⋅ d S → = - 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 + 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 + 2 u 2 - v 2

Passo 4

Logo nossa integral se resume a:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 + 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 + 2 u 2 - v 2   d u d v  

Calma, não se assuste. Vamos devagar. Se olharmos bem atentamente podemos ver que:

- 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2 + 3 1 + 2 u + v e u 2 - v 2

Vão se anular. Na real a nossa integral será:

∫ 0 1 ∫ 0 2 2 u 2 - v 2   d u d v

Que maravilha, seguindo a ordem da integral vamos resolver:

∫ 0 2 2 u 2 - v 2   d u

Fazendo a distributiva do 2 :

∫ 0 2 2 u 2 - 2 v 2   d u

Assim:

2 u 3 3 - v 2 u 0 2

Substituindo os limites de integração:

2 2 3 3 - v 2 . 2   - 0 3 3 + v 2 0 0 2

Logo:

∫ 0 2 2 u 2 - v 2   d u = 2 8 3 - 2 v 2

Substituindo em:

∫ 0 1 ∫ 0 2 2 u 2 - v 2   d u d v

∫ 0 1 2 8 3 - 2 v 2 d v

Passo 5

Vamos resolver:

∫ 0 1 2 8 3 - 2 v 2 d v

Fazendo a distributiva de 2 l:

∫ 0 1 16 3 - 4 v 2 d v

Assim:

16 3 v - 2 3 v 3 0 1

Substituindo os limites de integração:

16 3 . 1 - 2 3 . 1 - 16 3 . 0 + 2 3 . 0

16 3 - 4 3

Assim:

∫ 0 1 2 8 3 - 2 v 2 d v = 4

Logo:

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S → = 4

Resposta

ϕ = ∬ S F → ⋅ d S → = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral de superfície ∬ F ⋅ d S para o campo vetorial F e a superfície S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exteri
Calcule ∬ S x 2 + y 2 + z 2 d S com precisão de quatro casas decimais, quando S é a superfície z = x e y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Determine o valor exato de ∬ S x 2 y zd S , onde S é a superfície z = x y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Determine o valor exato de ∫ ∫ S x 2 y zd S , onde S é a superfície do Exercício 29.
Determine o valor de ∫ ∫ S x 2 y 2 z 2d S correto até a quarta casa decimal, onde S é a parte do paraboloide z = 3 - 2 x 2 - y 2 que está acima do plano x y .