Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 22
Avalie a integral de superfície para o campo vetorial dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
Passo 1
Fala ai galera, o exercício quer que a gente localize o fluxo de através de , sabendo que:
e
S é o helicóide do exercício que tem a seguinte função parametrizada:
Então para resolver iremos fazer a integral da superfície pela fórmula:
O enunciado nos diz para usarmos a orientação (para o exterior) positiva.
Dessa forma o que precisamos fazer é calcular o vetor normal a esse helicoidal pela fórmula:
Mas, quem são e ? São as derivadas parciais do vetor ali do passo anterior! Vamos calcular as derivadas parciais em relação a e a da nossa função parametrizada. Então já sacou que iremos fazer isso antes de qualquer coisa, ok?
Feito isso podemos calcular o produto vetorial:
Show, depois iremos substituir os novos valores de em e aí , iremos fazer o produto escalar:
e depois só calcular a integral, show?
Passo 2
Bom primeiro passo é calcular o vetor normal a esse helicoide:
Sabendo que:
Vimos que precisamos fazer as derivadas parciais para achar
Assim:
e
Passo 3
O próximo passo é calcular o produto vetorial. Vamos substituir os valores da derivada em:
Assim:
Feito!
Passo 4
Vamos substituir os valores de
em:
Logo:
Assim:
Passo 5
E agora calcular o produto escalar dos vetores dos passos e , pois esse será nosso integrando:
E nosso domínio de integração? Bom, conforme o exercício temos e . Agora é só jogar tudo isso na integral, vamos lá?
Passo 6
Substituindo tudo na nossa integral:
Teremos:
Vamos começar calculando a integral em . Considerando como constante teremos:
Aplicando nos limites temos:
Agora é só verificar se não sobrou nenhum por ali e fazer a integração em :
Logo: