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Seja

F x , y , z = < a x 3 - 3 x z 2 , x 2 y + b y 3 , c z 3 >

Seja C a curva do Exercício 12 e considere todas as possíveis superfícies lisas S cuja curva fronteira é C . Ache os valores de a , b e c para os quais ∫ ∫ S F .   d S   é independente da escolha de S .

Passo 1

A curva C do Exercício 12 é a interseção do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 com os cilindro x 2 + y 2 = 1 com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.

Os componentes de F e a superfície fechada em C batem com os parâmetros necessários para aplicar o Teorema de Stokes , logo:

∫ ∫ S r o t   G   d S

Onde F = r o t   G , então pelo teorema presente na seção 5 desse livro, nós teremos que:

d i v   r o t   G = 0

Ou:

d i v   F = 0

Passo 2

Então se fizermos o divergente da função F nós teremos:

d i v   F = 3 a x 2 - 3 z 2 + x 2 + 3 b y 2 + 3 c z 2 = 0

d i v   F = 3 a + 1 x 2 + 3 b y 2 + 3 c - 3 z 2 = 0

Isso é:

3 a + 1 = 0 → a = - 1 3

3 b = 0 → b = 0

3 c - 3 = 0 → c = 1

Resposta

a = - 1 3

b = 0

c = 1

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