Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 16
16-
Seja
Seja a curva do Exercício e considere todas as possíveis superfícies lisas cuja curva fronteira é . Ache os valores de e para os quais é independente da escolha de .
Passo 1
A curva do Exercício 12 é a interseção do paraboloide hiperbólico com os cilindro com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.
Os componentes de e a superfície fechada em batem com os parâmetros necessários para aplicar o Teorema de Stokes , logo:
Onde , então pelo teorema presente na seção desse livro, nós teremos que:
Ou:
Passo 2
Então se fizermos o divergente da função nós teremos:
Isso é:
Resposta
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Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 3- F x , y , z = x 2 e y z i + y 2 e x z j + z 2 e x y k , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 0 , com orientação para cima.
17- Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k Quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da parte da esfera x 2 + y
Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S F x , y , z = x 2 sen z i + y 2 j + x y k S é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y , orientado para cima.
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima. F x , y , z = ( x + y 2 ) i + ( y + z 2 ) j + ( z + x 2 ) k C é o triângulo co