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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 26

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 25 ,   y ≥ 0 , orientado na direção do eixo positivo y .

Passo 1

Fala, galera! Tudo belezinha? 😊

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície para o campo vetorial:

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^

Na superfície S orientada na direção do eixo positivo y pelo hemisfério

x 2 + y 2 + z 2 = 25 ⏟ r 2

  y ≥ 0

Vamos começar olhando a região de integração. No plano x z é um círculo de raio 5 , então, para coordenadas polares:

d A = r d r d θ 0 ≤ r ≤ 5 0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Para calcular a integral de superfície, calculamos

∬ S F → ⋅ d S → → ∬ S F → ⋅ n d S →

Onde o vetor normal n → é na direção positiva do eixo y :

n → = 0,1 , 0

Então, segundo a fórmula, precisamos calcular o produto escalar entre esse vetor e o campo F → é:

x z ,   x ,   y ⋅ 0,1 , 0

x z ⋅ 0 + 1 ⋅ x + y ⋅ 0 = x

Como temos um hemisfério, podemos calcular em coordenadas polares

x = r c o s θ ;     y = r s e n θ ;     z = z

O produto escalar vai ficar assim, ó:

r c o s θ  

E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?

Passo 3

Como temos os limites de integração dado no passo anterior, então:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r c o s θ r d r d θ

Podemos dividir essa integral em duas, organizando em relação aos integrandos.

∫ 0 2 π c o s θ d θ ∫ 0 5 ( r 2 ) d r

Como não as variáveis são independentes, podemos fazer as duas integrações simultaneamente:

s e n θ 0 2 π ⋅ r 3 3 0 5

E aplicando os limites de integração:

0 - 0 ⋅ 5 3 3 - 0 3 = 0

Show de bola! 😉

Resposta

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