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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 16

Uma força de 400   N distende uma mola em 2 m . Uma massa de 50   k g é atada à mola e solta na posição de equilíbrio com uma velocidade de 10 m s para cima. Encontre a equação de movimento.

Passo 1

Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão diz que uma força de 400 N distende uma mola em 2 m , logo:

400 = 2 k

k = 200 N m

Além disso o enunciado nos diz que m = 50 k g , então nossa equação será:

50 x ' ' + 200 x = 0

Então vamos resolver esse trem aí!

Passo 2

Resolvendo essa equação, teremos:

50 x 2 + 200 = 0

O que nos dá:

x 1 = 2 i

x 2 = - 2 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t

Show!

Passo 3

O que precisamos fazer agora é encontrar as constantes c 1 e c 2 , galera! Para isso precisamos de condições iniciais, certo? De acordo com o enunciado tiramos que:

x 0 = 0

x ' 0 = - 10

Aplicando a primeira condição, teremos:

0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = 0

Agora aplicando a segunda condição, teremos:

x ' t = - 2 c 1 s e n   2 t + 2 c 2 cos ⁡ 2 t

- 10 = - 2 c 1 s e n   0 + 2 c 2 cos ⁡ 0

- 10 = 2 c 2

c 2 = - 5

Logo a equação do movimento será:

x t = - 5 s e n   2 t

E está aí nossa resolução!

Resposta

x t = - 5 s e n   2 t

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