Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 17
17. Uma outra mola de constante elástica é suspensa no mesmo suporte rígido, mas paralela ao sistema massa mola do problema 16. Uma massa de é atada à segunda mola e ambas são soltas a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade de para cima.
a) Qual massa apresenta maior amplitude de movimento?
b) Qual massa está se movendo mais rápido em ? E em ?
c) Quando as duas massas estão na mesma posição? Onde elas estão nesse instante? Em qual direção elas estão se movendo?
Passo 1
a) Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:
O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão diz que e , logo:
Resolvendo essa equação, teremos:
O que nos dá:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Show!
Passo 2
O que precisamos fazer agora é encontrar as constantes e , galera! Para isso precisamos de condições iniciais, certo? De acordo com o enunciado tiramos que:
Aplicando a primeira condição, teremos:
Agora aplicando a segunda condição, teremos:
Logo a equação do movimento será:
Comparando com a amplitude da questão , teremos:
Então a massa de apresenta maior amplitude!
Passo 3
b) Para a massa de , teremos:
Para a massa de , teremos:
Passo 4
c) As duas massas estão na mesma posição quando as posições são iguais, certo? Sendo assim:
A massa de está movendo para cima e a massa de está movendo para baixo quando é par e movendo para cima quando é ímpar.
Resposta
Todas as respostas estão nos passos acima.