Enunciado

Uma massa de 20 k g é atada a uma mola. Se a frequência do movimento harmônico simples é de 2 π vibrações por segundo, qual a constante de elasticidade k ? Qual a frequência do movimento harmônico simples se a massa original for substituída por uma massa de 80 k g ?

Passo 1

Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento (como é o nosso caso), é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

Como o enunciado nos diz que m = 20 k g , então teremos:

20 x ' ' + k x = 0

Resolvendo essa equação diferencial:

20 x 2 + k x = 0

O que nos dá:

x 1 = 1 2 k 5 i

x 2 = - 1 2 k 5 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 1 2 k 5 t + c 2 s e n   1 2 k 5 t

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Passo 2

O enunciado também nos diz que o período das oscilações é de 2 π s , certo? Nós vimos na seção em questão que:

T = 2 π ω

Como ω = 1 2 k 5 , então:

T = 2 π 1 2 k 5 = 1 4 π k 5

Igualando ao período dado:

1 4 π k 5 = 2 π

k = 320 N m

E essa é a nossa constante elástica! Top!

Passo 3

Agora que encontramos k o enunciado quer saber qual será a frequência do movimento se m = 80 k g . Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

80 x ' ' + 320 x =

x ' ' + 4 x = 0

Resolvendo essa equação, teremos:

x 2 + 4 = 0

O que nos dá:

x 1 = 2 i

x 2 = - 2 i

Então nossa solução será:

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t

Passo 4

Para encontrarmos a frequência é bem tranquilo, galera! O período, assim como discutimos no passo 2, é dado por:

T = 2 π ω

Como a frequência é 1 T , então:

f = ω 2 π

Como ω = 2 , então:

f = 2 2 π = 1 π v i b s

E essa é a nossa frequência!

Resposta

k = 320 N m

f = 1 π v i b s

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