Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 12
Uma massa de é atada a uma mola. Se a frequência do movimento harmônico simples é de vibrações por segundo, qual a constante de elasticidade ? Qual a frequência do movimento harmônico simples se a massa original for substituída por uma massa de ?
Passo 1
Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento (como é o nosso caso), é a seguinte:
Como o enunciado nos diz que , então teremos:
Resolvendo essa equação diferencial:
O que nos dá:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Show!
Passo 2
O enunciado também nos diz que o período das oscilações é de , certo? Nós vimos na seção em questão que:
Como , então:
Igualando ao período dado:
E essa é a nossa constante elástica! Top!
Passo 3
Agora que encontramos o enunciado quer saber qual será a frequência do movimento se . Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:
Resolvendo essa equação, teremos:
O que nos dá:
Então nossa solução será:
Passo 4
Para encontrarmos a frequência é bem tranquilo, galera! O período, assim como discutimos no passo 2, é dado por:
Como a frequência é , então:
Como , então:
E essa é a nossa frequência!