Enunciado

Mostre que, quando um peso atado a uma mola apresenta movimento harmônico simples, o valor máximo da velocidade (isto é, v t ocorre quando o peso está passando pela posição de equilíbrio.

Passo 1

Então pessoal, a princípio a equação que determina o movimento de um epso atado a uma mola é a seguinte ó:

x t = A . cos ⁡ ( w t + θ )

A questão quer que encontrremos o valor máximo da velocidade, certo? Se lembrarmos dos conceitos de cálculo saberemos que devemos encontrar o valor para quando a derivada segunda do problema é zero, ou seja, quando x ' ' = 0 . Derivando, teremos:

x ' = - A w . s e n   w t + θ

Agora derivando novamente:

x ' ' = - A w 2 . cos ⁡ w t + θ

Se igualarmos isso a zero, teremos:

- A w 2 . cos ⁡ w t + θ = 0

Então vamos fazer uma análise disso aí!

Passo 2

Como A e w não são zero, obviamente, então o que nos sobra é:

cos ⁡ w t + θ = 0

w t + θ = π 2 + 2 n π

Aplicando na nossa equação do movimento, teremos:

x t = A . cos ⁡ ( w t + θ )

x π 2 + 2 n π = A . 0

x = 0

E está aí! Provamos que, de fato, a velocidade atinge seu máximo quando o peso passa pela posição de equilíbrio, isto é, x = 0 .

Resposta

Demonstração.

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