Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 28
Mostre que, quando um peso atado a uma mola apresenta movimento harmônico simples, o valor máximo da velocidade (isto é, ocorre quando o peso está passando pela posição de equilíbrio.
Passo 1
Então pessoal, a princípio a equação que determina o movimento de um epso atado a uma mola é a seguinte ó:
A questão quer que encontrremos o valor máximo da velocidade, certo? Se lembrarmos dos conceitos de cálculo saberemos que devemos encontrar o valor para quando a derivada segunda do problema é zero, ou seja, quando . Derivando, teremos:
Agora derivando novamente:
Se igualarmos isso a zero, teremos:
Então vamos fazer uma análise disso aí!
Passo 2
Como e não são zero, obviamente, então o que nos sobra é:
Aplicando na nossa equação do movimento, teremos:
E está aí! Provamos que, de fato, a velocidade atinge seu máximo quando o peso passa pela posição de equilíbrio, isto é, .
Resposta
Demonstração.