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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 1

Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? Quando quadruplicará?

Passo 1

E aíí gente, vamos pra mais um exercício?

A primeira informação que vamos usar nesse exercício é que a população cresce proporcionalmente ao número de pessoas naquele instante

Então vamos chamar N 0 o número de pessoas naquele instante e d N d t a taxa de crescimento da população. Temos:

d N d t ∝ N 0

Então

d N d t = k . N 0   ( I )

Onde k é uma constante

Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como d N d t + A t . N = B ( t ) , olha:

d N d t - k . N = 0

A solução de uma equação diferencial linear é dada por:

N ( t ) = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = k e B y = 0 então:

I t = e ∫ - k   d t

I t = e - k t

Então temos nosso fator de integração.

Vamos substituir as informações que temos na equação ( I I ) :

N t = 1 e - k t ∫ 0   d t + c

N t = 1 e - k t 0 + c

N t = c . e k t

Sendo c = N 0

N t = N 0 . e k t

Ta mas e aí, qual é o valor de k ?

Passo 2

Temos

N t = N 0 . e k t

E queremos descobrir o valor de k .

Pra isso, vamos usar a informação dada pelo enunciado, que depois de 5 anos a população duplicou, ou seja:

N 5 = 2 . N 0

Então:

N 5 = N 0 . e k . 5

2 N 0 = N 0 . e k . 5

e k . 5 = 2

5 k = ln ⁡ 2

k = ln ⁡ 2 5

Então cara, nossa equação é essa aqui olha:

N t = N 0 . e ln ⁡ 2 5 t

Passo 3

Agora vamos responder as perguntas do enunciado: ele quer saber quando a população triplica e quando ela quadruplica

Pra ela triplicar, temos: N t = 3 . N 0 :

3 . N 0 = N 0 . e ln ⁡ 2 5 t

e ln ⁡ 2 5 t = 3

ln ⁡ 2 . t 5 = ln ⁡ 3

t = 5 . ln ⁡ 3 ln ⁡ 2

Então, fazendo essa continha:

t ≅ 7,9   a n o s

Agora pra ela quadruplicar: N t = 4 . N 0 :

4 . N 0 = N 0 . e ln ⁡ 2 5 t

e ln ⁡ 2 5 t = 4

ln ⁡ 2 . t 5 = ln ⁡ 4

t = 5 . ln ⁡ 4 ln ⁡ 2

t = 10   a n o s

E é isso, mais simples do que parecia né hehehe

Resposta

T r i p l i c a r : t = 7,9   a n o s

Q u a d r u p l i c a r : t = 10   a n o s

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine a ordem da equação diferencial dada e diga se ela é linear ou não ( 1 + y 2 ) d 2 y d t 2 + t d y d t + y = e t