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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 17

Uma força eletromotiva de 100   v o l t s é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10 - 4   f a r a d . Encontre a carga q ( t ) no capacitor se q 0 = 0 . Encontre a corrente i ( t ) .

Passo 1

Vamos lá matar mais um exercício?

Aqui vamos utilizar a equação 8 dessa seção do seu livro, que fala justamente sobre o circuito em série R-C

R d q d t + 1 C q = E ( t )

E aí ele fala que E = 100   V , R = 200   o h m s e C = 10 - 4   f a r a d , vamos substituir:

200 d q d t + 1 10 - 4 q = 100

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d q d t + A t . q = B ( t ) , olha, dividindo tudo por 200 :

d q d t + 50 q = 1 2     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

q t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = 50 e B t = 1 2 então:

I t = e ∫ 50   d t

I t = e 50 t

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

q t = 1 e 50 t ∫ e 50 t . 1 2   d t + c

q t = 1 e 50 t e 50 t 100 + c

Então:

q t = 1 100 + c . e - 50 t

Agora só falta encontrar o valor de c

Passo 2

Temos

q t = 1 100 + c . e - 50 t

E o enunciado falou que q 0 = 0 , então:

q 0 = 0 = 1 100 + c . e - 50.0

c . 1 + 1 100 = 0

c = - 1 100

Logo, a nossa carga é

q t = 1 100 - 1 100 . e - 50 t

Passo 3

Agora que já temos a carga, vamos encontrar a corrente blz?

Sabemos que a corrente é a derivada da carga, então:

i t = d d t 1 100 - 1 100 . e - 50 t

i t = 0 - 1 100 . - 50 . e - 50 t

Então a corrente é:

i t = 1 2 . e - 50 t

Resposta

q t = 1 100 - 1 100 . e - 50 t

i t = 1 2 . e - 50 t

Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.44. y . d x d y - x = 2 y 2 , no qual y 1 = 5 .
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.35. d r d θ + r . sec ⁡ θ = cos ⁡ θ