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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 43

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

43. L . d i d t + R i = E ; L ,   R ,   E são constantes, no qual i 0 = i 0 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d i d t + P . i = Q

No qual P e Q são funções APENAS de t . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

i = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

L . d i d t + R i = E

Como queremos escrever no formato:

d i d t + P . i = Q

Teremos:

d i d t + R L i = E L

E então tiramos que:

P t = R L

Q t = E L

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

i = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

i = e - ∫ R L d t . E L ∫ e ∫ R L d t d t + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ R L d t = R L t

Substituindo

i = e - R L t . E L ∫ e R L t d t + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e R L t d t

Para resolve-la devemos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = R L t

d u = R L d t ⇒ L R d u = d t

Substituindo na integral:

L R ∫ e u d u = L R e u

Voltando para t :

∫ e R L t d t = L R e R L t

Passo 5

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

i = e - R L t . E L ∫ e R L t d t + c

i = e - R L t . E L . L R e R L t + c

i = e - R L t . E R e R L t + c = E R + c e R L t

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é i 0 = i 0 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

i 0 = E R + c e 0

∴ c = i 0 - E R

E então o resultado final mesmo será esse:

i = E R + i 0 e R L t - E R . 1 e R L t

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

i = E R + i 0 e R L t - E R . 1 e R L t

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