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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 8

Mostre que a meia-vida de uma substância radioativa no caso geral é

t = t 2 - t 1 . ln ⁡ 2 ln ⁡ A 1 A 2

Em que A 1 = A ( t 1 ) e A 2 = A t 2 , t 1 < t 2

Passo 1

Let’s que bora

A equação que descreve a quantidade de uma substância radioativa é

A t = A 0 . e - k t

Então temos

A 1 = A t 1 = A 0 . e - k t 1

A 2 = A t 2 = A 0 . e - k t 2

Podemos fazer a razão A 1 A 2 :

A 1 A 2 = e - k t 1 e - k t 2

A 1 A 2 = e k - t 1 + t 2

Então:

k - t 1 + t 2 = ln ⁡ A 1 A 2

k = ln ⁡ A 1 A 2 - t 1 + t 2     ( I )

Beleza, vamos deixar esse valor guardadinho

Passo 2

Agora vamos encontrar o tempo de meia vida resolvendo:

A 0 2 = A 0 . e - k t

e - k t = 1 2

- k t = ln ⁡ 1 2

- k t = - ln ⁡ 2

t = ln ⁡ 2 k

Substituindo ( I ) na equação acima:

t = ln ⁡ 2 ln ⁡ A 1 A 2 - t 1 + t 2

E enfim, chegamos em:

t = t 2 - t 1 . ln ⁡ 2 ln ⁡ A 1 A 2

Então ta provadíssimooo galera

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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