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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 8d

Se a força externa dada for substituída por uma força 2 cos ωt com frequência ω, encontre o valor de ω para o qual a amplitude da resposta forçada é máxima.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinta no problema 5:

m x ' ' + c x ' +   k x = m g + 2 cos ⁡ ω t

x 0 = 1 10

x ' 0 = 3 100

m = 5

c = 50

k = 490,5

g = 9,81

A amplitude do sistema é dada por:

x p t = A + B cos ⁡ ω t + C sin ⁡ ω t

A = m g k

B = 2 k - m ω 2 c 2 ω 2 + k - m ω 2 2

C = 2 c ω c 2 ω 2 + k - m ω 2 2

x p t = m g k + R cos ⁡ ( ω t - δ )

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

R cos ⁡ δ =   2 k - m ω 2 c 2 ω 2 + k - m ω 2 2

R sin ⁡ δ =   2 c ω c 2 ω 2 + k - m ω 2 2

R = 2 c 2 ω 2 + k - m ω 2 2

R ' ω =   - 1 c 2 ω 2 + k - m ω 2 2 3 2   2 c 2 ω + 2 k - m ω 2 × - 2 m ω

2 ω c 2 - 2 m k - m ω 2 = 0

ω = 0

ω =   ± 2 k m - c 2 2 m

Como só podemos ter valores positivos, teremos:

ω = 6,935 r a d s

Resposta

ω = 6,935 r a d s

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