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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 12

A mola de um sistema mola-massa tem constante de 3 N/m. Uma massa de 2 kg é presa na mola, e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece uma resistência numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea. Se o sistema sofre a ação de uma força externa de (3 cos 3t– 2 sen 3t) N, determine a resposta estado estacionário. Expresse sua resposta na forma Rcos(ωt – δ).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

W = k   Δ x

k = 3

x 0 = 3 4

x ' 0 = 0

∑ F x = m a x

2 x ' ' + x ' + 3 x = 2 g + 3 cos ⁡ 3 t   - 2 sin ⁡ 3 t

2 x c ' ' + x c ' + 3 x c = 0

A amplitude do sistema é dada por:

x c = e r t

x c ' = r e r t

x c ' ' = r ² e r t

2 r 2 e r t + r e r t + 3 e r t = 0

2 r ² + r + 3 = 0

r = - 1 4 ± i μ  

2 x p ' ' + x p ' + 3 x p = 2 g + 3 cos ⁡ 3 t   - 2 sin ⁡ 3 t

3 A = 2 g     ∴       A = 2 g 3

- 18 B + 3 C + 3 B = 3     ∴       B   = - 1 6

- 18 C - 3 B + 3 C =   - 2     ∴       C = 1 6

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

R cos ⁡ δ = - 1 6

  R sin ⁡ δ = 1 6

R = 1 3 2

tan ⁡ δ = - 1

δ = 3 π 4

Resposta

δ = 3 π 4

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