Enunciado

Uma mola é esticada 6 in por uma massa pesando 8 lb. A massa está presa a um mecanismo amortecedor que tem uma constante de amortecimento de 0,25 lb · s/ft (1 ft (pé) = 12 in) e está sob a ação de uma força externa igual a 4 cos 2t lb. Determine a resposta estado estacionário deste sistema.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

W = k   Δ x

k = 16

x 0 = 3 4

x ' 0 = 0

∑ F x = m a x

m x ' ' + c x ' + k x = W + 4 cos ⁡ 2 t

m x c ' ' + c x c ' + k x c = 0

A amplitude do sistema é dada por:

x c = e r t

x c ' = r e r t

x c ' ' = r ² e r t

m r 2 e r t + c r e r t + k e r t = 0

m r ² + c r + k = 0

r = - c 2 m ± i μ  

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

m x p ' ' + c x p ' + k x p = W + 4 cos ⁡ 2 t

k A = W     ∴       A = W k

2 c C + k - 4 m B = 4     ∴       B   = 4 ( k - 4 m ) 4 c ² + ( k - 4 m ) ²

- 2 c B + k - 4 m C = 0     ∴       C = 8 c 4 c 2 + k - 4 m 2

Resposta

m x p ' ' + c x p ' + k x p = W + 4 cos ⁡ 2 t

k A = W     ∴       A = W k

2 c C + k - 4 m B = 4     ∴       B   = 4 ( k - 4 m ) 4 c ² + ( k - 4 m ) ²

- 2 c B + k - 4 m C = 0     ∴       C = 8 c 4 c 2 + k - 4 m 2

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