Se a e b forem números fixos, encontre equações paramétricas para a curva que consiste de todas as posições possíveis do ponto P na figura, usando o ângulo θ como parâmetro. Então elimite o parâmetro e identifique a curva.

x = a cos ⁡ θ y = b sin ⁡ θ ⇒ x a 2 + y b 2 = 1 A curva é uma elipse.

Enunciado

Queremos as coordenadas do ponto em função de , certo?

Vamos imaginar mais dois triângulos retângulos nessa figura, assim:

Então temos o triângulo menorzinho, que é o triângulo e o triangulo maior, que é o triangulo , beleza?

Se você reparar pela figura podemos dizer que as coordenadas do nosso ponto são

Só precisamos descobrir a medida desses segmentos e teremos a parametrização que queremos.

Como estamos falando de dois triângulos retângulos, podemos usar relações com seno e cosseno, assim, essas duas medidas saem rapidamente, olha só:

Do triangulo menor:

E do triangulo maior:

Isso significa que a parametrização da nossa curva é:

Agora precisamos eliminar o parâmetro e identificar que curva é essa em termos de e , ou seja, dizer a equação cartesiana dessa curva.

Bom, a ideia é a gente tentar isolar o parâmetro, mas como ele está associado a um seno e cosseno, vamos isolar o seno e o cosseno:

Agora o que que a gente usa toda vez que a gente quer se livrar de seno e cosseno?

Relação fundamental da trigonometria!!!!!

E isso é a equação de uma elipse.

A curva é uma elipse.