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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 26

  1. A fórmula w x = k / x 2 do Exercício 25 é aplicável a todos os corpos celestes. Supondo que a Lua seja uma esfera com um raio de 1080   m i l h a s , encontre a força que ela exerce sobre um astronauta que está x milhas acima de sua superfície se seu peso na superfície da Lua for de 20   I b .
  2. Qual é o trabalho necessário para elevar o astronauta até um ponto a 10,8   m i l h a s   acima da superfície da Lua?

Passo 1

  1. O astronauta pesa 2 0   I b na superfície da Lua, o que quer dizer que:

    2. w 1080 = 2 0   I b

    Usando essa informação podemos encontrar o k da fórmula da força gravitacional:

    w = k 108 0 2 = 2 0 ∴ k = 2 , 33 28 ⋅ 10 7

    Logo a fórmula para a força, para valores de x maiores que 108 0 (fora da Lua), é:

    w x = 2 , 3328 ⋅ 10 7 x 2

    Passo 2

  2. A força que realiza trabalho deve superar a força gravitacional. Podemos escrever:

F x = w ( x )

Ao elevar o astronauta, sua força gravitacional diminui, logo, já que estamos trabalhando com uma força variável:

W = ∫ a b F x d x

A gente já tem a expressão para F ( x ) , vamos pensar agora nos extremos de integração. Queremos sair das superfície da Lua em x = 1080   para x = 1080 + 10 , 8 = 109 0,8   .

Logo nossa integral fica:

W = ∫ 1080 1090,8 2,3328 ⋅ 10 7 x 2   d x = 213 , 86   m i l h a s ⋅ I b = 1,13 ⋅ 10 6   p é s ⋅ I b

Resposta

a   w ( x ) = 2,3328 ⋅ 10 7 x 2

b   W = 1,13 ⋅ 10 6   p é s ⋅ I b

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