Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 79
As funções da forma
surgem em uma variedade de problemas estatísticos.
- Use o teste da derivada primeira para mostrar que tem um máximo relativo em e confirme isso usando um recurso gráfico computacional para esboçar o gráfico de .
- Esboce o gráfico de
onde é uma constante, e identifique as coordenadas dos extremos relativos.
Passo 1
- Pronto, vamos lá, para achar os pontos relativos de vamos encontrar a primeira derivada:
- Agora para esboçar o gráfico de vamos ter que assumir algum valor para a constante , vamos então assumir , assim vamos ter o gráfico da seguinte forma:
Agora fazendo vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:
Pronto, temos como pontos críticos então:
Passo 2
Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:
Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um máximo relativo em .
Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um mínimo relativo em .
E se tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então não tem extremo relativo em .
Vamos então analisar as derivadas no intervalo que contém :
Pronto, temos então que e , então tem um máximo relativo em , tudo certo!!
Passo 3
Pelo gráfico dá pra ver que tem um extremo relativo em , e ele á um máximo relativo, assim qualquer valor que a gente colocar de vai ser o valor do máximo relativo da função.
Resposta
b)
O valor de vai ser o valor do máximo relativo da função.