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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 70

Use um recurso gráfico para fazer uma conjectura sobre os extremos relativos de f e, então, confira sua conjectura usando o teste da derivada primeira ou derivada segunda.

f x = 10 ln ⁡ x - x

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = 10 ⋅ 1 x - 1 = 10 x - 1

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

10 x - 1 = 0 → 10 x = 1 → x = 10

Temos como pontos críticos então:

x = 10

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 10 ⋅ - 1 ⋅ x - 1 - 1 - 0 = - 10 x - 2 = - 10 x 2

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:

f ' ' 10 = - 10 10 2 = - 10 100 < 0

Pelo Teste da Derivada Segunda temos que x = 10 é um máximo relativo.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico:

Por ele conseguimos ver que temos que x = 10 é um máximo relativo.

Resposta

x = 10 é um máximo relativo

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Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.Use a derivada segunda para encontrar os p
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