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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 77

Em cada parte, encontre k de tal forma que f tenha um extremo relativo em x = 3 .

  1. f x = x 2 + k x
  2. f x = x x 2 + k

Passo 1

Para termos um extremo relativo em x = 3 vamos achar os pontos críticos de cada função, e igualar a 3 :

  1. Vamos encontrar a primeira derivada:

    2. f ' x = 2 x + k ⋅ - 1 ⋅ x - 1 - 1 = 2 x - k x - 2 = 2 x - k x 2

    Fazendo f ' x = 0 vamos achar o ponto crítico:

    2 x - k x 2 = 0 → 2 x = k x 2 → x 3 = k 2 → x = k 2 3

    Agora vamos igualar a 3 para achar o extremo relativo:

    x = k 2 3 → 3 = k 2 3 → 3 3 = k 2 → k = 27 ⋅ 2 = 5 4

    Pronto, temos então que k = 54 para que f tenha um extremo relativo em x = 3 .

    Passo 2

  2. Vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = x x 2 + k = 1 ⋅ x 2 + k - x 2 x + 0 x 2 + k 2 = x 2 + k - 2 x 2 x 2 + k 2 = - x 2 + k x 2 + k 2

Fazendo f ' x = 0 vamos achar o ponto crítico:

- x 2 + k x 2 + k 2 = 0 → - x 2 + k = 0 → x 2 = k → x = ± k

Agora vamos igualar a 3 para achar o extremo relativo:

x = ± k → 3 = ± k → 3 2 = k → k = 9

Aqui temos então que k = 9 para que f tenha um extremo relativo em x = 3 .

Resposta

  1. k = 54
  2. k = 9
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