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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 60

Hemisfério - Encontre o fluxo para cima de F = 3 z + 1 k através do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,   z ≥ 0 (a) com o teorema da divergência e (b) calculando a integral de fluxo diretamente

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Vamos considerar a região delimitada pela metade superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e o plano x y   ( z = 0 ) . Pelo Teorema da Divergência, o fluxo para fora do campo vetorial através do limite da superfície S é

∬ F ∙ n d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V

Podemos notar que a divergência deste campo vetorial é

∇ ∙ F = ∂ ∂ z 3 z + 1 = 3

Portanto, o fluxo externo é

∬ F ∙ n d σ = ∭ 3   d V = 3 V

Onde V é o volume da região, com isso,

V = 1 2 4 3 π a 3 = 2 3 π a 3

Assim, o fluxo ascendente através do hemisfério é

d σ = d x   d y = r   d r d θ

R x y = r , θ , z 0 ≤ r ≤ a ,     0 ≤ θ ≤ 2 π ,     z = 0

F = 3 z + 1 k = k     z = 0   n o   p l a n o   x y

Passo 2

Além disso, podemos notar que o vetor normal a esta porção da superfície apontando para fora da região é n = - k . Portanto,

∬ F ∙ n d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a k ∙ - k r   d r d θ = - 2 π ∫ 0 a r   d r = - π a 2

Assim, o fluxo ascendente através do hemisfério é

∬ F ∙ n d σ = 2 π a 3 - - π a 2 = π a 2 ( 2 a + 1 )

Passo 3

B - Na porção da esfera podemos usar a parametrização

r θ , ϕ = a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ i + a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ j + a cos ⁡ ϕ k

Para 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 . Nós temos que

r θ × r ϕ = i j k - a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 0 a cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ a sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ - a sen ⁡ ϕ = - a 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ i - a 2 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ - a 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k

A norma será igual a

r θ × r ϕ = a 2 sen 4 ⁡ ϕ + sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ = a 2 sen ⁡ ϕ

Com isso, d σ = a 2 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ e o campo avaliado na equação paramétrica é

F r θ , ϕ = ( 3 a cos ⁡ ϕ + 1 ) k

Também podemos notar que

p = ∇ x 2 + y 2 + z 2 - a 2 = 2 x i + 2 y j + 2 z k

É um vetor normal à superfície esférica, então

n = p p = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 = 1 a x i + y j + z k

Em coordenadas esféricas

n = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ i + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ j + cos ⁡ ϕ k

Portanto, o argumento na integral de superfície é

F ∙ n = 3 a cos ⁡ ϕ + 1 cos ⁡ ϕ

E

∬ F ∙ n d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 3 a cos 2 ⁡ ϕ + cos ⁡ ϕ d cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

Com isso, temos o seguinte resultado

∬ F ∙ n d σ = - 2 π a 2 3 a cos 3 ⁡ ϕ 3 + cos 2 ⁡ ϕ 2 0 π 2 = - 2 π a 2 - a - 1 2 = π a 2 2 a + 1

Usando ambas as formas, o fluxo é

∬ F ∙ n d σ = π a 2 2 a + 1

Resposta

a )   ∬ F ∙ n d σ = π a 2 2 a + 1

b )   ∬ F ∙ n d σ = π a 2 2 a + 1

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