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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 55

Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D

55. Calota esférica F = - 2 x i - 3 y j + z k

D: A região superior cortada da esfera sólida x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 pelo paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Podemos notar que tanto F quanto a região D (com fronteira S), satisfazem a hipótese do Teorema da Divergência. De modo que, aplicando este teorema, o fluxo para fora do campo vetorial através do limite da região é dado por

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V

Neste caso, a divergência do campo vetorial é

∇ ∙ F = ∂ ∂ x - 2 x + ∂ ∂ y - 3 y + ∂ ∂ z z

Com isso, nós temos que

∇ ∙ F = - 2 - 3 + 1 = - 4

Portanto, o fluxo é

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V = ∭ - 4   d V = - 4 V

onde V é o volume da região D delimitada pela superfície S. Em coordenadas cilíndricas temos que

z ≥ x 2 + y 2 → z ≥ r 2

E

z ≤ 2 - x 2 - y 2 → z ≤ 2 - r 2

A intercepção da esfera e do cone é um círculo no plano z = - 1 , porque

x 2 + y 2 + z 2 = 2 → z + z 2 = 2

Desenvolvendo os termos

z - 1 z + 2 = 0

Que tem como soluções

z = 1   o u   z = - 2

Assim, a região delimitada pela superfície é descrita por

D = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 1 ,     r 2 ≤ z ≤ 2 - r 2 }

Passo 2

O volume desta região é igual a

∭ d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r   d z d r d θ

Vamos trabalhar nesta integral, podemos “eliminar” o d z e d θ

∭ d V = 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 2 - r 2   d r

Separando as integrais

∭ d V = 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 2   d r - 2 π ∫ 0 1 r 3   d r

Resolvendo as mesmas integrais, nós obtemos o seguinte resultado

∭ d V = 2 π ∫ 0 1 - 1 2 2 - r 2 d 2 - r 2 - 2 π 1 4

Com isso,

∭ d V = - π 2 3 2 - r 2 3 2   0 1 - π 2 = - 2 π 3 1 - 2 2 - π 2

Portanto,

∭ d V = 1 6 8 2 - 7 π

e o fluxo externo através da superfície é

∬ F ∙ n   d σ = - 4 1 6 8 2 - 7 π = - 2 3 8 2 - 7 π

Resposta

∬ F ∙ n   d σ = - 2 3 8 2 - 7 π

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