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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 17

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

∬ S x d y d z + y d y d x + z d x d y

Sendo S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 abaixo do plano z = 1 / 2 , com normal exterior.

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Olhando para nossa integral dada, temos que f → = x , y , z , assim o divergente de f →   é

∇ ⋅ f → = 3

Com relação a nossa superfície dada, temos uma esfera centrada na origem do nosso sistema e de raio 1 . Assim o que precisamos fazer, é definir os limites de integração da nossa esfera, sabendo até que vai devemos varia nosso ϕ . Vamos fazer e vê o que acontece.

Primeiro vamos parametrizar nossa esfera para facilitar o nosso entendimento sobre os limites de integração.

g → r , θ , ϕ = r cos ⁡ θ   s e n   ϕ ,   r   s e n   θ   s e n   ϕ , r cos ⁡ ϕ

As duas primeiras coisas que até o momento é bem tranquilo, é que r ∈ 0,1 e θ ∈ 0,2 π , mas o quanto varia ϕ .

No plano z = 1 / 2 e tomando r = 1 , temos que cos ⁡ ϕ = 1 2 → ϕ = π / 6 . Assim temos ϕ ∈ π 6 , π . Agora estamos prontos para integrar.

Com a parametrização que fizemos, não podemos esquecer que d x d y d z → r 2 s e n ϕ   d r   d θ   d ϕ

Passo 3

Assim aplicando o teorema da divergência, temos

∬ S f → ⋅ n → d S = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π 3 r 2 s e n ϕ d r d θ d ϕ

Assim temos

2 π ∫ π / 6 π s e n   ϕ   d ϕ = 2 π - cos ⁡ ϕ π / 6 π = 2 π - - 1 - - 3 2 = π + π 3

Que é exatamente o que estavam esperando.

Resposta

π + π 3

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