Exercícios de Teorema de Gauss - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule a integral

Onde , é a fronteira da região

Orientada com a normal exterior.

Calcule , onde , é a superfície cilíndrica fechada limitada pelos planos e , cuja base no plano é limitada pelas curvas de equações:

E o vetor normal é exterior à .

Dentre todos os sólidos retangulares definidos pelas desigualdades , , , encontre aquela para o qual o fluxo exterior total de através dos seis lados seja maior. Qual é o maior fluxo?

Seja a união das superfícies e dadas pelas equações abaixo:

Calcule , onde é o campo de vetores definido por e é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por .

Determine o fluxo do campo vetorial:

Através da superfície do solido limitado pelas esferas de equações:

Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido .

Considere o campo vetorial

Seja uma constante. Determine o fluxo de através da superfície definida como a fronteira da região

Use o Teorema de Divergência para calcular

Onde é a esfera .

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

Através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

Através da superfície do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelos planos , , e .

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

Através da superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

Através da superfície do sólido entre as esferas e

Determine o fluxo do campo vetorial:

Através da superfície do solido limitado pelas esferas de equações:

Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido .

Considere o campo vetorial

Seja uma constante. Determine o fluxo de através da superfície definida como a fronteira da região

Seja a união das superfícies e dadas pelas equações abaixo:

Calcule , onde é o campo de vetores definido por e é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por .

Calcule o fluxo através da esfera unitária centrada na origem, de dentro para fora da esfera, do campo vetorial

Seja

1. Determine o rotacional de .
2. Use o Teorema do divergente para calcular

Onde S é a superfície do sólido limitado pelos paraboloides e, orientada positivamente

10) Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido definido por , com campo de vetores normais a apontando para fora de .

1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:

a) e o sólido limitado pelas superfícies e .

17) Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que

Onde é a derivada direcional de na direção do vetor .

1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:

a) e o sólido limitado pelas superfícies e .

3) Calcule

onde , é a fronteira do cilindro

e orientada para fora de .

Seja um campo de vetores de classe em , que não é identicamente nulo. Considere as seguintes afirmações:

1. Se é conservativo em , então em .
2. em .
3. Se representa um campo de velocidades de um fluido em e , então o volume de regiões limitadas com fronteira de conteúdo nulo é preservado pelo escoamento.
4. Existe uma superfície com bordo em , orientada por uma normal , tal que o fluxo de através de na direção é não-nulo.

Podemos afirmar que:

Escolha uma:

1. Apenas 3 afirmações são corretas.
2. Nenhuma afirmação é correta.
3. Apenas 2 afirmações são corretas.
4. Todas as afirmações são corretas.
5. Apenas 1 afirmação é correta.

Seja .

Considere as seguintes afirmações:

1. para toda curva fechada por partes .
2. O fluxo do rotacional de sobre uma superfície orientada é nulo.
3. Existem pontos de onde o divergente de se anula.
4. O fluxo de através da superfície , com , orientada pela normal satisfazendo , é nulo.

Escolha uma:

1. Todas as afirmações são corretas.
2. Apenas 3 afirmações são corretas.
3. Apenas 2 afirmações são corretas.
4. Apenas 1 afirmação é correta.
5. Nenhuma afirmação é correta.

Sejam um campo de vetores de classe em e o elipsoide , orientado por normal externa .

Considere as seguintes afirmações:

1. Se , então .
2. Se é um campo gradiente, então .
3. Se o rotacional é identicamente nulo, então .

Assinale a alternativa verdadeira.

Escolha uma:

1. Apenas a afirmação III é correta.
2. Apenas as afirmações II e III são corretas.
3. Apenas a afirmação I é correta.
4. Apenas a afirmação II é correta.
5. Apenas as afirmações I e II são corretas.

Seja o campo vetorial , com domínio . Analise as seguintes afirmações:

1. , para esfera , com , qualquer que seja a orientação de .
2. , para toda superfície parametrizada orientável contida no domínio de , qualquer que seja a orientação de .
3. , para cilindro , , com , qualquer que seja a orientação de .

É correto afirmar que

Escolha uma:

1. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
2. Todas as afirmações são verdadeiras.
3. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
4. Apenas a afirmação I é verdadeira.
5. Apenas a afirmação III é verdadeira.

Sejam um campo vetorial de classe e . Considere as seguintes afirmações, nas quais denota a esfera de centro e raio orientada pela normal exterior , e a bola fechada de centro e raio .

(I) Se , existe tal que .

(II) Se , existe tal que .

(III) Se , para todo , tem-se .

São verdadeiras, apenas: (Escolha uma)

a) Nenhuma

b) Todas

c) II e III

d) I

e) II

Dados o campo e a superfície fechada que delimita o cilindro

com a normal apontando para fora. Calcule:

(b) O fluxo de através de .

Considere o campo vetorial . Seja a parte da esfera acima do plano , orientada com normal tal que . O valor da integral é:

a)

b)

c)

d)

e)

Considere a superfície do cubo orientada para fora e seja .

1. Usando o Teorma da Divergência, ache o fluxo de através desta superfície.
2. Verifique o resultado do item anterior calculando o fluxo pela definição.

(4) O fluxo do campo vetorial através da superfície do sólido , orientada com o vetor normal apontando para fora, é igual a:

Questão 3:

Calcule

onde

e , sendo a parte do paraboloide , , orientada de modo que sua normal unitária satisfaça e a parte do paraboloide , orientada de modo que sua normal unitária satisfaça .

Calcule , onde e é formada pelas faces (exceto pelo fundo) do tetraedro de vértices , , e .

Questão 3: Considere o campo vetorial no sólido limitado por e .

1. Parametrize as duas partes das superfícies que delimitam este sólido.
2. Usando as parametrizações do item anterior, calcule o fluxo de através (isto é, calcule sem usar o Teorema de Gauss).
3. Calcule o divergente do campo e use o Teorema de Gauss para verificar o resultado do item anterior (isto é, calcule novamente o fluxo usando o Teorema de Gauss).

Use o Teorema do divergente para calcular

, onde e é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plno orientado positivamente.

Questão 3: Seja a fronteira da região :

1. Esboce a região .
2. Calcular o fluxo do campo vetorial ao longo da superfície .

Sejam e funções escalares definidas em de classe e seja a superfície fronteira de uma região sólida . Suponha que estamos nas condições do Teorema de Gauss.

Mostre que

Onde

Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo através da superfície do elipsóide , orientada positivamente.

2) Seja . Seja a superfície da esfera com centro e raio . Ache o fluxo de de dentro para fora de .

5) Calcule o fluxo do campo , através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e plano , onde é o normal unitária exterior a .

Dados os paraboloides e

1. Faça um esboço do sólido limitado pelos paraboloides

(Capítulo 16.9 – Exercício 7) Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .

, é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e

(Capítulo 16.9 – Exercício 18) Seja . Determine o fluxo de através da parte do paraboloide que está acima do plano e tem orientação descendente.

(Capítulo 16.9 – Exercício 5) Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .

, é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , e .

Calcule , onde e é a fronteira da região limitada pelo cilindro entre os planos e , orientada pela normal exterior.

Seja , onde . Calcule , onde é a normal unitária exterior a nos seguintes casos:

é a esfera de raio com centro na origem;

Calcule , onde está orientada pela normal exterior nos seguintes casos:

é a esfera ;

Calcule , onde está orientada pela normal exterior nos seguintes casos:

é a fronteira da região limitada por e .

Seja , onde . Calcule , onde é a normal unitária exterior a nos seguintes casos:

é uma superfície fechada lisa por partes tal que a origem não pertence a nem à região interior a .

Seja , onde . Calcule , onde é a normal unitária exterior a nos seguintes casos:

é uma superfície fechada lisa por partes que contém a origem em seu interior.

Calcule o fluxo através de ( = normal unitária exterior), para:

e o elipsóide ;

Calcule o fluxo através de ( = normal unitária exterior), para:

e a superfície do sólido limitado pelos hemisférios , e pelo plano .