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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 58

Cilindro e planos - Encontre o fluxo exterior do campo F = 3 x z 2 i + y j - z 3 k através da superfície do sólido no primeiro octante que é delimitado pelo cilindro x2 + 4y = 16 e os planos y = 2 z , x = 0 e z = 0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Podemos notar que tanto F quanto a região D (com fronteira S), satisfazem a hipótese do Teorema da Divergência. De modo que, aplicando este teorema, o fluxo para fora do campo vetorial através do limite da região é dado por

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V

Neste caso, a divergência do campo vetorial é

∇ ∙ F = ∂ ∂ x 3 x z 2 + ∂ ∂ y 1 + ∂ ∂ z - z 3 = 3 z 2 + 1 - 3 z 2 = 1

Portanto, o fluxo é igual a

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V = ∭ d V = V

Onde V é o volume da região delimitada pela superfície. A projeção da região no plano xy é a elipse

x 2 + 4 y 2 = 16 → x 2 4 2 + y 2 2 2 = 1

Que pode ser descrita como

R x y = x , y , z 0 ≤ x ≤ 4 ,     0 ≤ y ≤ 1 2 16 - x 2 ,     z = 0 }

Por outro lado, podemos notar que

0 ≤ z ≤ y 2

Assim, a região delimitada pela superfície pode ser descrita como

D = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 4 ,     0 ≤ y ≤ 1 2 16 - x 2 ,     0 ≤ z ≤ y 2 }

Passo 2

Portanto, o fluxo para fora do campo através da superfície é

∬ F ∙ n   d σ = ∫ 0 4 ∫ 0 1 2 16 - x 2 ∫ 0 y 2 d z d y d x

Essa integral pode ser reduzida a

∬ F ∙ n   d σ = 1 2 ∫ 0 4 ∫ 0 1 2 16 - x 2 y   d y d x = 1 2 ∫ 0 4 1 2 y 2 0 1 2 16 - x 2   d x

Com isso, nós temos que

∬ F ∙ n   d σ = 1 2 ∫ 0 4 1 4 16 - x 2   d x

Portanto,

∬ F ∙ n   d σ = 1 16 16 x - x 3 3 0 4 = 1 16 64 - 64 3 = 8 3

Resposta

∬ F ∙ n   d σ = 8 3

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