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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 24

Encontre a integral de linha de f ( x , y ) = y / x ao longo da curva r ( t ) = t 3 i + t 3 j , 1 / 2 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sendo x = t 3 e y = t 4 , a função será: f ( x , y ) = t 4 t 3 = t 2 t 3 = 1 t e d r → d t = 3 t 2 i ‾ + 4 t 3 j → com 1 2 ≤ t ≤ 1 .Logo, o módulo de d r → d t será dado por:

d r ‾ d t = 3 t 2 2 + 4 t 3 2 = 9 t 4 + 16 t 6 = t 2 9 + 16 t 2

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d t d t .Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então o resultado do exercício que é:

∫ 1 / 2 1   1 t t 2 9 + 16 t 2 d t = ∫ 1 / 2 1   t 9 + 16 t 2 d t = 1 48 9 + 16 t 2 3 / 2 1 / 2 1 = 125 - 13 13 48

Passo 2

Obs.: A integral ∫ 1 / 2 1   t 9 + 16 t 2 d t é resolvida por substituição:Se considerarmos u = 9 + 16 t 2 e d u = 32 t d t podemos escrever que:

∫ 1 / 2 1   t 9 + 16 t 2 d t = ∫   1 32 u 1 / 2 d u = 2 96 u 3 / 2 = 1 48 u 3 / 2

Resposta

Resposta nos passos.

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Calcule int_gamma root(3)(x) d x + (d y)/(1 + y^2) Onde gamma é a curva
Seja γ 1 : a , b → R 2 uma curva de classe C 1 e seja f x , y um campo escalar contínuo na imagem de γ 1 . Seja γ 2 : a , b → R 2 dada por γ 2 t = γ 1 a + b - t Prove que ∫ γ 1 f x , y d s = ∫ γ 2 f x
Calcule ∫ C f d s , onde a )f x ,y = x + y e C é a fronteira do triângulo de vértices 0 ,0 ,1 ,0 e 0 ,1 .
4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Ondeb. Fx , y = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 e C é a circunferência de centro na origem e raio a , percorrida no sentido anti-horario
4. Calcule int_C F * d vec r OndeF (x , y) = (x^2 - 2 x y , y^2 - 2 x y) e C é a parábola y = x^2 de (- 2,4) a (1,1)