Encontre a integral de linha de f ( x , y ) = y / x ao longo da curva r ( t ) = t 3 i + t 3 j , 1 / 2 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sendo x = t 3 e y = t 4 , a função será: f ( x , y ) = t 4 t 3 = t 2 t 3 = 1 t e d r → d t = 3 t 2 i ‾ + 4 t 3 j → com 1 2 ≤ t ≤ 1 .Logo, o módulo de d r → d t será dado por:

d r ‾ d t = 3 t 2 2 + 4 t 3 2 = 9 t 4 + 16 t 6 = t 2 9 + 16 t 2

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d t d t .Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então o resultado do exercício que é:

∫ 1 / 2 1   1 t t 2 9 + 16 t 2 d t = ∫ 1 / 2 1   t 9 + 16 t 2 d t = 1 48 9 + 16 t 2 3 / 2 1 / 2 1 = 125 - 13 13 48

Passo 2

Obs.: A integral ∫ 1 / 2 1   t 9 + 16 t 2 d t é resolvida por substituição:Se considerarmos u = 9 + 16 t 2 e d u = 32 t d t podemos escrever que:

∫ 1 / 2 1   t 9 + 16 t 2 d t = ∫   1 32 u 1 / 2 d u = 2 96 u 3 / 2 = 1 48 u 3 / 2

Resposta

Resposta nos passos.

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