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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 102

Integrações variadas

Calcule as integrais dos Exercícios 69- 116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.

Passo 1

Para esta integral, por haver termos semelhantes no numerador e no denominador, é possível resolvê-la por integração por substituição simples.

Passo 2

Com isso, podemos fazer a substituição do termo do denominador por u = 1 + x ,   t a l   q u e   x = u - 1   e   d u = d x . Então:

∫ 1 + x 2 1 + x 3 d x = ∫ 1 + u - 1 2 u 3 d u = ∫ u 2 - 2 u + 2 u 3 d u

Passo 3

Separando a integral de uma soma em uma soma de integrais, tem-se que:

∫ 1 + x 2 1 + x 3 d x = ∫ 1 u d u - ∫ 2 u 2 d u + ∫ 2 u 3 d u =

= ln ⁡ u + 2 u - 1 u 2 + C

Passo 4

Assim, encontrada o resultado da integral, é necessário substituir a variável u para a variável x que é a desejada. Logo:

∫ 1 + x 2 1 + x 3 dx = ln ⁡ u + 2 u - 1 u 2 + C = ln ⁡ 1 + x + 2 1 + x - 1 1 + x 2 + C

Resposta

ln ⁡ 1 + x + 2 1 + x - 1 1 + x 2 + C

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v = (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 ))