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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 40

v = (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 ))

Passo 1

Temos a equação da velocidade e precisamos achar a distância percorrida, sabendo que a integral da velocidade é a posição, integraremos a função no intervalo entre 0 e 2 segundos.

s = int_0^2 v (t) d t

int_0^2 (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) = (A)/(( t + 1 )) + (B)/(( t + 2 ))

Isolando ( t + 3 ) , vamos achar

(t + 3) = A (t + 2) + B ( t + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 2 ; B = - 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) = (2)/(( t + 1 )) + (- 1)/(( t + 2 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) d x = int (2)/(( t + 1 )) d x + int (- 1)/(( t + 2 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) d x = 2 ln |t + 1| - l n | t + 2 |

Para integral definida

int_0^2 (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) d t = 2 ln |2 + 1| - ln |2 + 2| - (2 ln |0 + 1| - ln |0 + 2|) = l n | (9)/(2) |

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