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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 103

Integrações variadas

Calcule as integrais dos Exercícios 69- 116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.

Passo 1

Para esta integral, por haver termos semelhantes na função, é possível resolvê-la por integração por substituição simples.

Deve-se lembrar também que, a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 2

Com isso, pode-se fazer a substituição u = x ,   t a l   q u e   x = u ²   e   2 u d u = d x . Então:

∫ x 1 + x d x = ∫ u   1 + u   2 u d u = ∫ 2 u 2 1 + u d u

Passo 3

A fim de tornar a integral mais fácil, uma alternativa é substituir o radicando. Assim, uma substituição possível é v = 1 + u ,   t a l   q u e   u = v - 1   e   d u = d v . Logo:

∫ 2 u 2 1 + u d u = ∫ 2 v - 1 2 v d v =

= 2 ∫ v 5 / 2 - 2 v 3 / 2 + v d v = 2 ∫ v 5 / 2 d v - ∫ 2 v 3 / 2 d v + ∫ v d v

Passo 4

Resolvendo cada uma das integrais:

2 ∫ v 5 / 2 d v - ∫ 2 v 3 / 2 d v + ∫ v d v = 2 2 7 v 7 / 2 - 4 5 v 5 2 + 2 3 v 3 / 2 + C

Passo 5

Após encontrar o resultado da integral, é necessário refazer as substituições a fim de retornar à variável x . Logo, fazendo v = 1 + u   e   u = x :

∫ x 1 + x d x = 2 2 7 1 + x 7 / 2 - 4 5 1 + x 5 / 2 + 2 3 1 + x 3 / 2 + C

Resposta

2 2 7 1 + x 7 / 2 - 4 5 1 + x 5 / 2 + 2 3 1 + x 3 / 2 + C

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