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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 2f

2.Calcule:

int_0^1 (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável , chamaremos de:

u = 1 + x^2

Então aplicando derivado aos dois lados, teremos :

(u)^' = (1 + x^2) '

d u = 2 x d x

Isolando xdx, temos :

x d x = (d u)/(2)

Passo 2

Agora substituiremos u na equação, mas antes note que x^2 = u - 1 !

int (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = int (x^2 (x d x))/(sqrt(1 + x^2))

int (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = int ((u - 1))/(sqrt(u)) xx (d u)/(2)

Sendo (1)/(2) constante, o colocaremos para fora e colocaremos tudo como potências de u :

int (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = (1)/(2) int (u^((1)/(2)) - u^(- (1)/(2))) d u

Calculando a Primitiva :

int (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = (sqrt(u^3))/(3) - sqrt(u) + C

Substituindo x em u teremos:

int (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = (sqrt((1 + x^2)^3))/(3) - sqrt(1 + x^2) + C

Passo 3

Agora , com a primitiva já calculada, calcularemos a Integral Definida :

int_0^1 (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = (sqrt((1 + (1))^3))/(3) - sqrt(1 + (1)^3) - ((sqrt((1 + (0))^3))/(3) - sqrt(1 + (0)^3))

= (2 sqrt(2))/(3) - sqrt(2) - (1)/(3) + 1

Isso nos dá

(2 sqrt(2) - 3 sqrt(2) - 1 + 3)/(3)

int_0^1 (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = (2 - sqrt(2))/(3)

Resposta

int_0^1 (x^3)/(sqrt(1 + x^2)) d x = (2 - sqrt(2))/(3)

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