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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 13

Calcule a integral.

int (a x)/(x^2 - b x) d x

Passo 1

Nosso primeiro passo é fatorar o denominador, vamos isolar o menor termo de x , que é o x :

(a x)/(x^2 - b x) = (a x)/(x (x - b)) = (a)/(x - b)

Pronto, já temos ela no formato pronto, só substituir na integral:

int (a x)/(x^2 - b x) d x = int (a)/(x - b) d x

Passo 2

Vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - b

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (a)/(x - b) d x = int (a)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (a)/(u) d u = a int (1)/(u) d u = a ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (a x)/(x^2 - b x) d x = int (a)/(x - b) d x = int (a)/(u) d u = a ln |u| + C = a ln |x - b| + C

Resposta

int (a x)/(x^2 - b x) d x = a ln |x - b| + C

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