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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 4

int (x^2 - 4 x - 4)/(x^3 - 2 x^2 + 4 x - 8) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (x^2 - 4 x - 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 4 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x^2 - 4 x - 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 4 )) = (A (2 x) + B)/(( x^2 + 4 )) + (C)/(( x - 2 ))

Isolando x^2 - 4 x - 4 , vamos achar

x^2 - 4 x - 4 = ( A (2 x) + B ) ( x - 2 ) + C ( x^2 + 4 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = (4)/(5) ; B = - (16)/(5) ; C = - (3)/(5) ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(x^2 - 4 x - 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 4 )) = ((4)/(5) (2 x) - (16)/(5))/(( x^2 + 4 )) + (- (3)/(5))/(( x - 2 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (x^2 - 4 x - 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 4 )) d x = int ((4)/(5) (2 x) - (16)/(5))/(( x^2 + 4 )) d x + int (- (3)/(5))/(( x - 2 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (x^2 - 4 x - 4)/(x^3 - 2 x^2 + 4 x - 8) d x = - l n (2 - x) + l n (4 + x^2) + c

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