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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 7

v = (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 ))

Passo 1

Temos a equação da velocidade e precisamos achar a distância percorrida, sabendo que a integral da velocidade é a posição, integraremos a função no intervalo entre 0 e 2 segundos.

s = int_0^2 v (t) d t

int_0^2 (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) = (A)/(( t + 1 )) + (B)/(( t + 2 ))

Isolando ( t + 3 ) , vamos achar

(t + 3) = A (t + 2) + B ( t + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 2 ; B = - 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) = (A)/(( t + 1 )) + (B)/(( t + 2 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) d t = int (2)/(( t + 1 )) d t - int (1)/(( t + 2 )) d t

Agora vamos resolver essas integrais que são mais simples!

Passo 4

Resolvendo a primeira,

int (2)/(( t + 1 )) d t = 2 ln (t + 1) + C

Passando para a segunda,

int (1)/(( t + 2 )) d t = ln (t + 2) + C '

Com isso, temos que

int ((t + 3))/((t + 1) (t + 2)) d t = 2 ln (t + 1) - ln (t + 2) + C^(' ')

Aplicando propriedades de log

int ((t + 3))/((t + 1) (t + 2)) d t = ln (((t + 1)^2)/(t + 2)) + C ' '

Achamos a primitiva, mas estamos em um integral definida, lembra?

Passo 5

Aplicando os limites de integração

int_0^2 (( t + 3 ))/(( t + 1 ) ( t + 2 )) d t = (ln (((t + 1)^2)/(t + 2))|_0^2 = ln ((9)/(4)) - ln ((1)/(2)) = ln ((9)/(2))

Resposta

ln ((9)/(2))

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Calcule a integral. ∫ 2 x - 3 x 2 - 3 x - 10 d x
Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) 3 x - 1 x - 3 x + 4
Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) x 2 x + 2 3
Calcule a integral. ∫ 3 x + 1 3 x 2 + 2 x - 1 d x
Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) 1 - x 2 x 3 x 2 + 2