v = (t + 3) / ((t + 1)(t + 2))

Passo 1

Temos a equação da velocidade e precisamos achar a distância percorrida, sabendo que a integral da velocidade é a posição, integraremos a função no intervalo entre 0 e 2 segundos.

s = ∫ 0 2 v t d t

∫ 0 2 ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 ) d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 ) = A ( t + 1 ) + B ( t + 2 )

Isolando   ( t + 3 ) , vamos achar

t + 3 = A t + 2 + B ( t + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 2 ;                     B = - 1 ;  

Agora substituindo os valores de A e B temos:

( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 ) = A ( t + 1 ) + B ( t + 2 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 ) d t = ∫ 2 ( t + 1 ) d t - ∫ 1 ( t + 2 ) d t    

Agora vamos resolver essas integrais que são mais simples!

Passo 4

Resolvendo a primeira,

∫ 2 ( t + 1 ) d t = 2 ln ⁡ t + 1 + C

Passando para a segunda,

∫ 1 ( t + 2 ) d t   = ln ⁡ t + 2 + C '

Com isso, temos que

∫ t + 3 t + 1 t + 2 d t = 2 ln ⁡ t + 1 - ln ⁡ t + 2 + C ' '

Aplicando propriedades de log

∫ t + 3 t + 1 t + 2 d t = ln ⁡ t + 1 2 t + 2 + C ' '

Achamos a primitiva, mas estamos em um integral definida, lembra?

Passo 5

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 ) d t = ln ⁡ t + 1 2 t + 2 0 2 = ln ⁡ 9 4 - ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 9 2

Resposta

ln ⁡ 9 2

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