Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 14
Calcule a integral.
Passo 1
Aqui temos dois possíveis casos, se e , vamos fazer o caso de primeiro:
Temos o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:
Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Isolando na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:
Assim achamos :
Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:
Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.
Passo 2
Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 3
Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 4
Juntando temos:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:
Passo 5
Agora vamos fazer com , a expressão fica:
Temos o Caso II, onde o denominador é um produto de fatores lineares com repetição:
Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:
Passo 6
Vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 7
Temos então que:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: