Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 20
Às da manhã, a temperatura externa era de . Às da noite, havia caído para .
(a) Mostre que, em algum instante durante esse período, a temperatura estava decrescendo a uma taxa de .
(b) Suponha ser de seu conhecimento que a temperatura atingiu os em algum momento entre às da manhã e às da noite. Mostre que, em algum instante durante esse período, a temperatura estava caindo a uma taxa maior que .
Passo 1
(a) Para provar isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, para calcular a taxa instantânea de variação da temperatura. Pelo TVM, supondo satisfeitas suas hipóteses, existe um ponto no meio do percurso, ou seja entre e , em que:
Ou seja, em pelo menos um ponto do percurso, a temperatura estava variando exatamente a variação média entre e .
Passo 2
Dito isto, podemos apenas ver qual a variação média entre e . Lembrando que queremos algo em .
Calculando a variação média, temos:
Como vimos que, em pelo menos um ponto do percurso a temperatura estava variando exatamente a variação média entre e por conta do TVM e agora vimos que , podemos afirmar que a variação da temperatura foi, pelo menos uma vez entre e , exatamente .
Passo 3
(b) A ideia aqui é exatamente a mesma da letra anterior, agora só vamos mudar os números. Queremos mostrar que a variação média em algum momento entre e foi menor que , ou seja, caiu mais que . Pelo TVM:
Então, supondo que a demoraram para sair de para , a taxa de variação média foi . Mas como essa variação ocorreu no meio do processo entre e , essa variação teve que acontecer em menos tempo que , pois ela não representou o processo todo, apenas uma parte dele. Logo, se diminuirmos o tempo para achar a variação média da temperatura, vamos aumentar o , ou seja, a temperatura cairá a uma taxa maior que !
Resposta
Prova no passo a passo.