Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 21
Suponha que dois corredores de metros rasos acabam empatados. Mostre que, pelo menos uma vez durante a corrida, ambos tiveram a mesma velocidade.
Passo 1
Para provar isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, para calcular a velocidade instantânea do corredor. Pelo TVM, supondo satisfeitas suas hipóteses, existe um ponto no meio do percurso, ou seja entre e , em que:
Ou seja, em pelo menos um ponto do percurso, o corredor tinha velocidade exatamente igual a velocidade média no percurso e isso vale para os dois corredores
Obs.: é o tempo que eles demoraram para correr os metros. Se eles chegaram empatados, demoraram o mesmo tempo .
Passo 2
Dito isto, podemos apenas ver qual a velocidade média do corredor no percurso.
Calculando a velocidade média, temos:
Como vimos que, em pelo menos um ponto do percurso, o corredor tinha velocidade exatamente igual a velocidade média no percurso por conta do TVM e agora vimos que , podemos afirmar que o o corredor tinha, pelo menos uma vez durante o percurso, uma velocidade de exatamente .
Só que, como os dois corredores correram os mesmos no mesmo tempo , a conta para encontrar a velocidade média de cada um dos dois é igual e, portanto, eles possuem a mesma . Com isso, podemos afirmar que, pelo menos uma vez durante a corrida, ambos tiveram a mesma velocidade, que era igual a velocidade média.
Resposta
Prova no passo a passo.